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Regra de Ruffini

Conteúdos

Introdução

A regra de Rufini é um processo fácil que nos permite dividir polinómios de qualquer grau por um polinómio do tipo x-α. Usa-se sempre que precisamos de simplificar uma fracção de dois polinómios, semelhantes às seguintes fracções:

\frac{x^4 + 2x - x^3 -2}{x+4}

ou

\frac{x^2-2x+5}{x-3}

Por seu lado, a resolução - simplificação - de tais expressões é útil tanto na resolução de equações fraccionárias, como no estudo das funções.

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Regra geral

A primeira etapa consiste em identificar o dividendo e o divisor, e verificar se este último é um polinómio de grau 1, ou seja se pode ser escrito na forma x-α (ou x+α). Nós vamos utilizar o primeiro exemplo acima. pelo que a solução da equação x+4=0 é x=-4.

Depois vamos ver qual é o número que anula o denominador, ou seja, a solução da equação x+α=0. Esse número é escrito numa tabela, ocupando a primeira coluna, em baixo:

tabela

No topo de cada uma das outras colunas (2ª, 3ª, e por aí fora...), colocamos os coeficientes do polinómio dividendo (o que está em cima!), ordenados do maior para o menor grau.

Agora já temos o teatro de operações pronto. Falta começar a trabalhar os números. O primeiro passo é transportar o primeiro coeficiente (neste caso o 1) para a linha de baixo.

tabela

Agora vamos multiplicar o número que acabamos de escrever na linha de baixo pelo número da coluna da esquerda. Ora, 1x(-4)= -4, e vamos colocar o resultado na linha do meio, debaixo do coeficiente seguinte:

tabela

Entramos agora na parte repetitiva do processo. A partir daqui basta somar o número da coluna do meio com o número que está em cima e colocar o resultado na linha de baixo.

tabela

Depois é ir fazendo ao -5 que acabamos de escrever o mesmo que fizemos ao 1, ou seja, multiplicá-lo por -4... O processo segue até ao fim da tabela:

tabela

Por fim, resta-nos interpretar o resultado. A linha de baixo contém os coeficientes do polinómio-quociente nas primeiras colunas, e o resto da divisão na última coluna. E o resto da divisão na última coluna. Neste caso, o resto é 308, e o polinómio resultante é:

 x^3 -5x^2 +20x -78

Tal como acontece na divisão, podemos dizer que O dividendo é igual ao quociente vezes o divisor mais o resto. Ou então, que o Dividendo sobre o divisor (ou seja, a fracção da qual partimos) é igual ao quociente mais o resto a dividir pelo divisor, o que, no nosso caso, pode ser escrito como:

\frac{x^4 + 2x - x^3 -2}{x+4} = x^3 -5x^2 +20x -78 + \frac{308}{x+4}

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